Potenze (2)
L'operazione di elevamento a potenza è definita anche per esponenti non interi. Infatti una calcolatrice di fronte a 4 7.5 non segnala errori.
Anche in questi casi sono vere le formule: | |||||||||
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[La terza formula può essere derivata dalle prime due: | |||||||||
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Vale anche la formula: | |||||||||
(ab )c = ab · c | |||||||||
È facile vedere che è vera nel caso degli esponenti interi: | |||||||||
(52)3 = 52 · 52 · 52 = 5 2 + 2 + 2 = 52·3 | |||||||||
Si può dimostrare che vale in generale. Vediamone un esempio d'uso: | |||||||||
100006 = (104)6 = 104·6 = 1024 |
Come viene calcolato il valore di ab quando b non è intero?
a1/2 e a1/3 stanno rispettivamente per √a e 3√a (la radice cubica di a, cioè il numero che al cubo fa a). Ciò è in accordo con la prima formula (abac= ab+c):
il quadrato di a1/2 è a1/2·a1/2 = a1/2+1/2 = a1 = a
il cubo di a1/3 è a1/3·a1/3·a1/3 = a1/3+1/3+1/3 = a1 = a
Più in generale se b ha lo stesso valore di 1/n, ab vale n√a (la radice n-esima di a).
Ad esempio se con una CT batto 32 0.2 ottengo come risultato 2. Infatti 0.2 = 1/5 e 25 = 32.
Per dare un'idea di come viene calcolato ab in altri casi facciamo un esempio.
Se con una CT batto 32 0.4 ottengo come risultato 4. Ciò accade perchè:
0.4 = 4/10 = [semplificando] = 2/5 = 2·(1/5) |
la CT interpreta 320.4 come 322·(1/5) cioè come (322)1/5 |
322 fa 1024 e 5√1024 fa 4; infatti 45 = 1024. |
Sulle potenze a esponente non intero si ritorna alla voce strutture numeriche.
Nota 1. xy, per x<0 e y non intero, può non essere definito.
Ad esempio (32)0.5 = (32)1/2 =
√(32) che non è definita, mentre (32)0.2 = (32)1/5 =
Nel software occorre verificare come opera l'elevamento a potenza. In genere "x alla y" è indicato
x^y ma è definito solo per
Vediamo come si può estendere la definizione con R: basta
calcolare
Nota 2. Le formule riportate all'inizio sono vere in tutti i casi in cui sono definite, ma occorre stare attenti a non usarle per trasformare termini definiti in termini non definiti o viceversa.
Ad esempio (2)1/2·(2)1/2, non è definita, per cui non è definita neanche la formula
Analogamente ((4)1/2)2 non è definito, per cui non è definita neanche la formula