PROMEMORIA:

Coefficiente direttivo di una retta e Tangente trigonometrica

Coefficiente direttivo di una retta

Geometricamente, esso rappresenta il rapporto tra le misure dei due segmenti colorati indicati nella figura.
Per motivi di similitudine tra triangoli rettangoli, tale rapporto sarà indipendente dalla scelta dei due punti distinti sulla retta.

Vediamo ora più dettagliatamente il significato di coefficiente direttivo di una retta.

Considero l'equazione cartesiana di una retta r:

Se r non è non parallela all'asse y, allora il coefficiente b sarà diverso da  0. L'equazione cartesiana della retta potrà quindi scriversi:

Si ponga quindi:

In tal caso l'equazione della retta diventa

che è detta anche equazione esplicita della retta

Poiché per x=0, si ha y=q, il termine q è l'ordinata dell'intersezione con l'asse y; il coefficiente m prende il nome di coefficiente angolare o pendenza e dipende dall'angolo a, minore di un angolo piatto, che la semiretta positiva dell'asse x forma con la semiretta r costituita dai punti di ordinata non negativa.

Se la retta r considerata passa per i punti  P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), la sua equazione, per x₁¹x₂ e y₁¹y₂ sarà

e il suo coefficiente direttivo è

In particolare l'equazione di una retta  ax+by=0 passante per l'origine si scrive y=-(a/b)x cioè y=mx
Il coefficiente angolare m coincide in questo caso con il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa di un punto qualsiasi P(x,y) della retta purché diverso dall'origine: m=(y/x).
Vari casi sono possibili a seconda del valore di m:

• Se m=y/x>0, y ed x sono concordi, pertanto i punti della retta sono contenuti nel 1^o e nel 3^o quadrante e l'angolo a è minore di 90^o;
• Se m=y/x<0, y ed x sono discordi, pertanto i punti della retta r sono contenuti nel 2^o e nel  4^o quadrante e l'angolo a è maggiore di 90^o;
• Se m=y/x=0, la retta rappresenta l'asse x.

Tangente trigonometrica

Mediante i teoremi riguardanti la similitudine tra triangoli (e ricordando che il cerchio goniometrico ha raggio unitario), si può provare facilmente che

La tangente di un angolo e' quindi definita in in R-{p/2 + kp. k in Z} e assume valori negativi quando il seno e il coseno assumono valori discordi:

Collegamenti