Interpretazione geometrica del concetto di derivata
Sia x0 un punto di un intervallo (a,b) Come il rapporto incrementale
in x0 relativo all'incremento h era il coefficiente
direttivo della retta che congiungeva i punti di coordinate (x0,f(x0))
e (x0+h,f(x0+h)), così
il limite di tale rapporto incrementale, per h tendente a 0, sarà
il coefficiente direttivo della
retta tangente al grafico della funzione in (x0,f(x0)).
Per scrivere l'equazione di tale retta abbiamo bisogno di conoscere
le seguenti informazioni:
-
avere informazioni sull'angolo che la retta forma una retta assegnata,
ad esempio con l'asse delle x;
-
avere le coordinate di un punto appartenente alla retta.
Nel nostro caso:
-
abbiamo informazioni sull'angolo che la tangente forma con l'asse delle
x, in quanto conosciamo la tangente trigonometrica di tale angolo: essa
è la derivata f '(x0)
-
sappiamo che la retta, dovendo essere tangente al grafico nel punto (x0,f(x0)), dovrà
in particolare passare per questo punto.
Nella generica equazione esplicita
y=mx+q
di una retta non parallela all'asse y sostituiamo quindi
i dati che conosciamo:
-
Il coefficiente direttivo di tale retta è f '(x0) =>
l'equazione della retta è del tipo "y=f '(x0)x+q"
-
La retta passa per il punto P=(x0,f(x0))
=> Le coordinate di P= (x0,f(x0))
dovranno soddisfare l'equazione "y= f '(x0)x+q"
scriviamo dunque:
f(x0)=f '(x0)
x0+q
e determiniamo il valore di q: si avrà q=f(x0)-f
'(x0) x0.
L'equazione della retta tangente al grafico sarà dunque "y =
f '(x0)x + f(x0) - f
'(x0) x0" cioè
y=f(x0) + f '(x0)
(x- x0)
A seconda che la derivata in x0, sia
nulla, negativa o positiva, la retta tangente al grafico in (x0,f(x0))
avrà la posizione indicata in figura:
(a questo proposito si veda anche la definizione di coefficiente
direttivo di una retta)
Collegamenti
Definizione di derivata
Definizione di tangente ad una curva
Regole di derivazione
Coefficiente direttivo di una retta
Derivata in un punto e funzione derivata