e avevamo visto che, geometricamente, essa rappresenta il coefficiente direttivo della retta tangente al grafico nel punto
Sia D il dominio di definizione della funzione: supponiamo di "far scorrere" (dove possibile.....) la tangente lungo la curva che rappresenta il grafico della funzione:
Come si può notare, nei punti x dove esiste la tangente al grafico della funzione, è possibile associare un'informazione riguardante la retta tangente al grafico nel punto corrispondente P=(x0,f(x0)). Consideriamo quindi la mappa:
Tale mappa sarà definita soltanto per quei valori per i quali la tangente al grafico in P esiste.
Ricordando quindi che tale coefficiente direttivo di tale retta è la derivata della funzione in x0, la mappa ora definita sarà quella che associa ad ogni punto la sua derivata. Tale mappa è detta "funzione derivata" della funzione f.
ATTENZIONE!: Non bisogna confondere il concetto di derivata in un punto con il concetto di funzione derivata, anche se per essi viene spesso usata la stessa parola "derivata":
La funzione derivata è una FUNZIONE che associa ad ogni punto x il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in P=(x, f(x))