Le approssimazioni - Considerazioni didattiche
L'argomento "approssimazioni" viene affrontato in più punti: viene introdotto alla voce Approssimazioni, con qualche precisazione alla voce Valori medi-2 e alla voce I numeri, in un punto e in un punto successivo. Viene poi affrontato in modo più sistematico nella voce Calcolo approssimato, e infine, nella parte prevista per gli ultimi anni delle superiori, collegato a tematiche matematiche più generali alle voci: Derivata, Curve approssimanti e Il limite centrale. Alla voce Il calcolatore-6 viene affrontato più in generale il tema delle approssimazioni con un mezzo di calcolo.
C'è, infine, una voce apposita sulle misure fisiche.
Qualche precisazione tecnica.
Il
termine arrotondamento, ad essere rigorosi, non è un
sinonimo di "approssimazione al numero (intero o …) più
vicino", ma sta ad indicare una approssimazione con un numero
inferiore di cifre (come suggerisce anche l'etimologia della parola).
Tuttavia negli ultimi anni si è assai diffusa questa
interpretazione. Anche noi la adotteremo perché è assi
più comodo usare l'espressione "arrotondamento"
piuttosto che "approssimazione al … più vicino"
o simili. Si noti, però, che successivamente useremo la parola
"arrotondamento" anche nell'accezione più estesa; ad
esempio parlando di errori o problemi di arrotondamento nel calcolo
automatico ci riferiremo ai fenomeni conseguenti alle approssimazioni
con meno cifre effettuate dalle macchine, indipendentemente dal modo in cui queste approssimazioni vengono svolte.
Il
concetto di cifre significative viene spesso usato anche in
un'accezione più estesa rispetto a quella qui considerata.
Ad esempio si parla di arrotondamento a n
cifre significative anche in situazioni in cui si arrotonda a meno
di un'unità sulla n-esima cifra iniziale (non a meno di
1/2 unità, come si è fatto qui): se una bilancia
garantita con la precisione di 1 grammo dà il peso 160 g si
può dire che questo ha 3 cifre significative, intendendo che
il peso è 160±1 g, cioè cade in [159 g, 161 g];
se la bilancia avesse la precisione di 10 grammi diremmo che il peso
160 g ha 2 cifre significative, intendendo che è 160±10.
In questi casi è, comunque, norma indicare la precisione. Ad
esempio si potrebbe anche approssimare alla cinquantina più
vicina: 1867 verrebbe arrotondato a 1850 e le cifre significative
sarebbero 3 (185).
Più
in generale, a volte si parla di n cifre significative anche
nel caso di un'approssimazione in cui si abbia qualche
informazione sull'n-esima cifra iniziale, cioè in
cui si sappia solamente delimitare i valori che può assumere
l'n-esima cifra iniziale (ad esempio nel caso si ottenga il
valore 34.6178 e si sappia che l'errore è al più di
0.03, sappiamo che la 4a cifra iniziale non può
essere una cifra qualunque: il numero deve finire con 58, 59, …,
o 64; della 5a cifra iniziale non possiamo invece dire
nulla; a volte, dunque, si dice che le cifre significative sono 4,
cioè 34.62, anche se ad essere precisi potremmo scrivere
solamente 34.62±0.04, in modo da comprendere tutto
l'intervallo 34.6178±0.03).
Alcune di queste precisazioni sono svolte alla
voce Calcolo approssimato, alla fine della
quale, alla Nota 1, si sottolinea esplicitamente la convenienza di effettuare solo
alla fine gli arrotondamenti. Si tratta, comunque, di un'abitudine
da consolidare attraverso la partica (e l'uso, ragionato, dei mezzi di calcolo,
sin dalla scuola primaria). Un tempo (fino al 1970 circa) quando si procedeva
con il calcolo manuale, era più comodo operare su
arrotondamenti dei risultati intermedi, anche se si peggiorava la
precisione del risultato.
Osserviamo che, in inglese, sensibilità (di uno strumento, di una misura) viene tradotto sensitivity.
Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione
puoi trovare un collegamento alle Schede di Lavoro e tra queste a quelle dell'unità didattica
"Le statistiche" (e la relativa "guida"), che mettono a disposizione materiale utilizzabile, direttamente o
opportunamente rielaborato, per organizzare attività didattiche che coinvolgono l'uso
delle approssimazioni. Molti esempi, a vari livelli di difficoltà,
sono presenti anche nella sezione esercizi.