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Probabilità, statistica ed elaborazione automatica delle
informazioni: aspetti teorici e didattici
Introduzione
Il presente materiale (in versione aggiornata nel 2006) costituisce la base per la conduzione di una attività di formazione in-servizio o pre-servizio (articolabile in più moduli) sulla statistica e la probabilità rivolti, essenzialmente, agli insegnanti (o ai futuri insegnanti) di matematica della scuola secondaria superiore: è articolato in 8 "schede di lavoro".
Ha come sussidio il software necessario per seguire il corso.
Materiale e software possono essere usati via Internet o scaricati in forma compressa su proprio computer
[dalla sezione Download nella Mappa del sito
http://macosa.dima.unige.it].
Il corso può essere svolto in un'aula attrezzata con computer, sotto la conduzione/coordinamento di uno o più persone, o può essere realizzato sotto forma di "autoaggiornamento" da parte di singoli insegnanti.
Il materiale è stato sperimentato più volte, sia in forma "condotta" che autogestita, e man mano rivisto.
La finalità principale del corso è fornire agli insegnanti la preparazione di base necessaria per affrontare con "padronanza" (in modo da essere in grado di interpretare le difficoltà degli alunni, vagliare criticamente libri e proposte didattiche, …) i temi probabilistici previsti dai "nuovi programmi" per il biennio (più o meno le prima 4 schede) e per "comprendere" quelli previsti per il "triennio" (le ultime quattro).
Oltre a ciò, il corso prevede alcune esplicite riflessioni didattiche relative all'introduzione di questi temi nella scuola secondaria superiore e mira a mettere in luce (e far sperimentare) il ruolo decisivo che, ai nostri giorni, ha assunto il calcolatore sia nelle attività di "uso" della probabilità che nelle attività più "teoriche".
La modalità di utilizzo del materiale suggerita è "carta, penna e calcolatore".
Nel caso dell'impiego del materiale per un corso di aggiornamento collettivo si suggerisce che i partecipanti lavorino a piccoli gruppi (2 o, al massimo, 3 persone per computer), cercando di equilibrare l'uso del computer tra i componenti dei gruppi;
il/i coordinatore/i dovrebbero introdurre ogni incontro, guidare all'uso del materiale (tenere i tempi, indicare le attività da fare, …),
sintetizzare man mano (grosso modo, paragrafo per paragrafo) le questioni affrontate, aiutare i gruppi che incontrano difficoltà.
Comunque, il materiale è utilizzabile anche senza impiegare il software: per ogni quesito che richiede elaborazioni al computer
sono presenti commenti che includono l'illustarzione degli esiti grafici e numerici.
Sarebbe opportuno che i partecipanti, tra un incontro e il successivo, rivedessero gli argomenti man mano affrontati e si esercitassero nell'uso del software. Sarebbe utile anche integrare il lavoro proposto dalle schede con riflessioni critiche e scambi di opinioni su programmi scolastici, proprie esperienze didattiche, …
Le schede intercalano la presentazione e la discussione di situazioni problematiche con l'introduzione e la formalizzazione dei concetti. Questa scelta è legata sia a considerazioni didattiche generali sia alla natura stessa del calcolo delle probabilità e della statistica, in cui è "immanente" l'aspetto della modellizzazione.
Le indicazioni per la soluzione dei problemi man mano presentati sono inserite in appositi paragrafi alla fine delle schede, separate dal testo dei problemi, in modo da agevolare l'uso "attivo" del materiale.
L'indice seguente permette di ricostruire facilmente lo "scheletro matematico" del corso e il ritrovamento di situazioni problematiche che illustrino operativamente il significato dei vari concetti. L'indice alfabetico consente di individuare facilmente i punti in cui sono introdotti o discussi concetti e questioni critiche, culturali e didattiche.
Il software MaCoSa consente di seguire quasi tutto il corso. Si è fatta la scelta di mettere a punto del software specifico, senza ricorre a software statistico-probabilistico già esistente, per evitare problemi di licenza (e consentire ai singoli insegnanti di esercitarsi liberamente anche sul proprio computer) e di compatibilità (i programmi sono stati redatti in modo da "girare" anche sui modelli più semplici di PC). Per lo stesso motivo, come linguaggio di programmazione si è utilizzato il QBasic, che non richiede particolari licenze (o, in vari casi, il JavaScript). Le elaborazioni e le attività proposte possono essere opportunamente modificate per essere svolte impiegando altro software (MiniTab, fogli di calcolo, altri linguaggi di programmazione, ...); non sono attuabili direttamente alcuni confronti grafici e scambi di informazioni consentiti dalle integrazioni esistenti tra le varie componenti del software MaCoSa, ma si può ricorre a confronti indiretti delle uscite, alla battitura di alcuni dati (e/o ai commenti ai quesiti presenti in fondo alle schede, che consentono di affrontare gli argomenti presentati anche senza utilizzare il computer).
I concetti di base del calcolo delle probabilità sono stati introdotti in modo diverso dall'usuale (abbiamo dato definizioni di evento e di variabile casuale diverse da quelle che si trovano, comunemente, sui manuali di probabilità), anche se, sostanzialmente, equivalente (vedi
scheda 2, §3). Alla fine della scheda 5 è presentato anche l'approccio "standard" e è motivata (didatticamente e tecnicamente) l'impostazione alternativa che abbiamo seguito.
In alcune schede sono presenti riferimenti ai seguenti manuali:
- Byrkit, Donald R.: 1987, Statistics Today, The Benjamin/Cummings Publ. Comp., Menlo Park
- Gilchrist, W.: 1984, Statistical Modelling, John Wiley, New York
- Gnedenko, Boris Vladimovic: 1979, Teoria della Probabilità, Edizioni Mir - Editori Riuniti, Mosca-Roma
- Ventsel, Elena Sergeevna: 1983, Teoria delle Probabilità, Edizioni Mir, Mosca
INDICE dettagliato delle schede
Nel paragrafo finale ("Suggerimenti e risposte ai quesiti") di ogni scheda sono presenti integrazioni e approfondimenti degli argomenti discussi negli altri paragrafi
1: Quale matematica per i fenomeni casuali?
2: Misure di probabilita`, variabili casuali e leggi di distribuzione
3: Probabilita` condizionata, legge di distribuzione binomiale
4: Funzioni di densita` e ripartizione
5: I teoremi limite
6: Problemi tipici della statistica matematica
7: Analisi bivariata
8: Caso, informazione e algoritmi
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1 Quale matematica per i fenomeni casuali?
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1 0 Introduzione
1 1 Una situazione problematica (studio della TELSTAT per conto della
VENTEL)
1 2 SIMULAZIONE mediante l'algoritmo ARRIVTEL (tempi di arrivo delle
telefonate), rappresentazione grafica ed esame dei dati generati,
impiegando il programma POLIGON e un EDITOR
1 3 SIMULAZIONE mediante DURTEL (durata delle telefonate), MEDIA
delle durate delle telefonate
1 4 SPERIMENTAZIONE simulata mediante il programma VENDITE, limiti
del MODELLO DETERMINISTICO della situazione, RAPPRESENTAZIONE
GRAFICA e confronto tra la DISTRIBUZIONE delle differenze dei
tempi di arrivo (simulazione mediante DIFFAR) e quella della
durata delle telefonate (simulazione mediante DURTEL) utilizzando
il programma STAT
1 5 INDICI DI POSIZIONE, confronti tra media e mediana; INDICI DI
DISPERSIONE, SCARTO ARITMETICO MEDIO, DISTANZA INTERQUARTILE,
SCARTO QUADRATICO MEDIO; BOX-PLOT
1 6 Confronto delle distribuzioni (dei tempi tra le telefonate e
delle durate delle telefonate), valutazioni probabilistiche
utilizzando i PERCENTILI
1 7 Approssimazione della parte superiore del CONTORNO DEGLI ISTO-
GRAMMI (ottenuti con STAT) mediante grafici di funzioni
continue realizzati con il programma POLIGON, valutazioni
probabilistiche mediante l'INTEGRAZIONE di queste funzioni
1 8 Contenuti e impostazione del corso, MODELLI STOCASTICI, ruolo
del CALCOLATORE
1 9 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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2 Misure di probabilita`, variabili casuali e leggi di distribuzione
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2 1 Alcune situazioni problematiche. Introduzione alle proprieta`
delle misure di probabilita`
2 2 Le misure di PROBABILITA`
2 3 Fenomeni casuali e deterministici. VARIABILI CASUALI ed EVENTI.
Il generatore di numeri (pseudo)casuali RND. Il programma
FA_RND.bas per simulare fenomeni casuali.
2 4 LEGGI di DISTRIBUZIONE di variabili in INTERVALLI di numeri reali.
La legge UNIFORME. Ancora su RND.
2 5 Leggi di distribuzione di variabili DISCRETE. La legge UNIFORME.
La simulazione mediante RND.
2 6 Il lancio di due DADI equi.
2 7 MEDIA (valore atteso), MEDIANA, SCARTO QUADRATICO MEDIO di una
variabile casuale DISCRETA
2 8 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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3 Probabilita` condizionata, legge di distribuzione binomiale
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3 1 Eventi e variabili casuali INDIPENDENTI. Verifica della possibili-
ta` di usare RND per simulare variabili indipendenti.
3 2 Le cosiddette REGOLE della SOMMA e del PRODOTTO. Uso dei GRAFI ad
ALBERO. Gruppo COMPLETO di eventi INCOMPATIBILI. Ragionamenti con
le "CASELLE".
3 3 Tabelle di CONTINGENZA. Probabilita` CONDIZIONATA. Formula di
BAYES. LIMITI del calcolo delle probabilita`.
3 4 Distribuzione BINOMIALE (simmetrica) (studio sperimentale e
teorico).
3 5 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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4 Funzioni di densita` e ripartizione
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4 1 La funzione di densita` GAUSSIANA per approssimare la legge di
distribuzione binomiale.
4 2 Le funzioni di DENSITA` (di probabilita`). Le variabili casuali
CONTINUE. MEDIA e SCARTO QUAD. MEDIO di una variab. continua. I
casi delle distribuzioni UNIFORME, ESPONENZIALE e GAUSSIANA
4 3 Proprieta` della densita` gaussiana. "Calcoli". La gaussiana
STANDARD
4 4 MEDIANA e MODA di una variabile continua. Le variabili casuali
MISTE.
4 5 PERCENTILI e funzione di RIPARTIZIONE (cumulativa). Alcune varia-
bili casuali funzioni di altre variabili casuali: U=X^2, U=X*Y,
U=X+Y con X e Y uniformi in [0,1).
4 6 Riflessioni didattiche ed epistemologiche sulla DEFINIZIONE di
PROBABILITA` (e sui LIBRI e i PROGRAMMI scolastici).
4 7 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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5 I teoremi limite
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5 0 Introduzione alla seconda parte (schede 5-8).
5 1 M(U1+U2), M(kU), M(U1*U2); la VARIANZA; Var(U1+U2), Var(kU).
Considerazioni teoriche e studio sperimentale. Applicazioni al
caso della legge BINOMIALE. Come effettua i calcoli una CT.
5 2 Il TEOREMA LIMITE CENTRALE. Abusi della distribuz. NORMALE.
5 3 Simulazione delle leggi GAUSSIANA e ESPONENZIALE.
5 4 Uso della gaussiana per approssimare calcoli inerenti distribu-
zioni binomiali. La legge BINOMIALE non simmetrica. Rappresen-
tazione e calcolo con POLIGON.
5 5 Determinazione della probabilita` di eventi mediante SIMULAZIONE.
LEGGI dei GRANDI NUMERI. PROB.bas. INTERVALLI di CONFIDENZA.
Leggi GEOMETRICA e IPERGEOMETRICA.
5 6 Confronto con le presentazioni (universitarie) standard (sigma-
algebre, variabili casuali come funzioni, ecc.).
5 7 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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6 Problemi tipici della statistica matematica
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6 1 STATISTICHE (o VARIABILI CAMPIONARIE).
6 2 Problemi tipici della STATISTICA MATEMATICA.
6 3 Sulla STIMA dei PARAMETRI. Stimatori CORETTI e NON DISTORTI.
6 4 Misurazioni ad ALTA SENSIBILITA`. Deviazione standard della media,
ERRORE standard.
6 5 INDIVIDUAZIONE di una LEGGE di distribuzione. Gli "ZOMBIE".
Leggi di distribuzione ESPONENZIALE e di POISSON.
6 6 CURVE APPROSSIMANTI. Interpolazione, approssimazione, scale semi-
e bi-logaritmiche, quadratiche, ... . DIFFERENZE SUCCESSIVE,
MEDIE MOBILI, metodo dei RAPPORTI.
6 7 Verifica della VEROSIMIGLIANZA di una legge di distribuzione. Il
TEST CHI QUADRO.
6 8 Altri TEST di SIGNIFICATIVITA`. Esempi tratti da prove scritte di
esami di maturita`
6 9 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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7 Analsi bivariata
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7 1 Due tipi di cadute A CASO di proiettili in un BERSAGLIO.
7 2 Legge di DISTRIBUZIONE, funzione di RIPARTZIONE, ISTOGRAMMA, fun-
zione di DENSITA` di U=(X,Y). (IN)DIPENDENZA
7 3 COVARIANZA e CORRELAZIONE
7 4 Uso del programma BIVAR. Limiti e usi distorti della correlazio-
ne.
7 5 Rette di REGRESSIONE. Assi PRINCIPALI
7 6 Un esempio di analisi di dati sperimentali (Grandezza1 in funzione
di Grandezza2)
7 7 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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8 Caso, informazione e algoritmi
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8 1 Definizione di probabilita` e CASUALITA`
8 2 Verso una definizione di successione casuale
8 3 ENTROPIA e INFORMAZIONE
8 4 Codici
8 5 ALGORITMI e definizione di SUCCESSIONE CASUALE. Il teorema di
INCOMPLETEZZA di Godel-Chaitin.
8 6 Come e` realizzato un GENERATORE di NUMERI pseudoCASUALI
8 7 Suggerimenti e risposte ai quesiti
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